Ребята, начнём! Сегодня разберём тему, которая кажется простой, но именно на ней спотыкается каждый третий на экзамене. Готовьтесь узнать секрет, как за 5 секунд находить ответы в первых заданиях ОГЭ!
P.S. Внимание всем, у кого в кармане лежит телефон: отложите его. Через 10 минут он вам не понадобится — вы будете решать в уме быстрее калькулятора!
План-конспект урока №1
Дата: 01.09
Тема:
Натуральные числа. Делимость. Признаки делимости. Простые и составные числа.
Цель:
Научиться уверенно применять признаки делимости и находить делители числа.
Оборудование: Ручка, тетрадь, простой карандаш.
Ход урока (55-60 минут)
1. Введение (5 минут)
Объяснение:
«Сегодня мы начинаем наш марафон по подготовке к ОГЭ. Всё в математике строится, как дом, из кирпичиков. Самые главные кирпичики — это натуральные числа (1, 2, 3, 4...). Мы будем учиться их раскладывать на ещё более мелкие детали и находить закономерности. Эти навыки прямо понадобятся в задачах №1, №2, №4, №19 ОГЭ».
Запись в тетрадь: Число. Тема.
2. Теория (15 минут)
Объясняем просто:
Делитель — это число, на которое делится наше число без остатка. Например, делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Кратное — это число, которое делится на наше число без остатка. Например, кратные числа 5: 5, 10, 15, 20…
Простое число — это натуральное число, которое имеет ровно два различных делителя: единицу и самого себя (например, 2, 3, 5, 7, 11, 13).
Составное число — имеет больше двух делителей (например, 4, 6, 8, 9, 10, 12).
Число 1 — НЕ является ни простым, ни составным! У него только один делитель.
Признаки делимости (записываем в виде таблички-шпаргалки в тетради):
На 2: Число оканчивается четной цифрой (0, 2, 4, 6, 8). Пример: 234, 1056.
На 3: Сумма цифр числа делится на 3. Пример: 117 (1+1+7=9, 9:3=3).
На 5: Число оканчивается на 0 или 5. Пример: 105, 870.
На 9: Сумма цифр числа делится на 9. Пример: 288 (2+8+8=18, 18:9=2).
На 10: Число оканчивается на 0. Пример: 100, 500.
3. Практика: решаем задачи вместе (25 минут)
Решаем у доски (или в тетрадях с комментариями).
1. Задача: Выпишите все делители числа 36.
Решение (алгоритм): Выписываем парами: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6. Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Да, да уже слышу:
- Объясни, почему мы разбиваем делители на пары именно так, а не иначе:
Отличный и очень важный вопрос! Объясню это на примере числа 36 так, как будто мы с учениками рисуем схему на доске.
Объяснение для учеников:
«Ребята, давайте представим, что мы — детективы, которые ищут все пары чисел, которые при умножении дают 36. Ведь если `a * b = 36`, то `a` и `b` — это и есть делители числа 36!
Мы начинаем наш поиск с самого маленького возможного делителя — единицы.
1. 1 * 36 = 36 → Значит, 1 и 36 — делители. Записываем эту пару.
*Теперь наш список: [1, 36]*
2. Идём дальше. Следующее натуральное число — 2. Делится ли 36 на 2? Да!
2 * 18 = 36 → Отлично, нашли ещё пару: 2 и 18.
*Список: [1, 2, 18, 36]*
3. Следующее число — 3. 36 делится на 3? Да!
3 * 12 = 36 → Добавляем пару: 3 и 12.
*Список: [1, 2, 3, 12, 18, 36]*
4. Следующее число — 4. 36 делится на 4? Да (36 : 4 = 9)!
4 * 9 = 36 → Новая пара: 4 и 9.
*Список: [1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36]*
5. Следующее число — 5. 36 делится на 5? Нет (потому что не оканчивается на 0 или 5). Пропускаем.
6. Следующее число — 6. 36 делится на 6? Конечно!
6 * 6 = 36 → А вот и особый случай! Это не пара, а «близнец». Число 6 умножается само на себя. Это наш сигнал к остановке.
*Список: [1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36]*
Почему мы остановились на 6? Главный секрет!
Мы остановились, потому что начали встречать уже найденные числа.
Посмотрите, как наши пары встречались:
`1 — 36` (самое маленькое и самое большое)
`2 — 18`
`3 — 12`
`4 — 9`
`6 — 6` ← Момент встречи!
После шестёрки следующие числа (7, 8, 9...) уже будут входить в наш список *вторыми числами* из предыдущих пар (9, 12, 18). Мы начнём повторяться!
Вывод (правило для запоминания):
Чтобы найти все делители, достаточно проверять числа от 1 до квадратного корня из исходного числа.
√36 = 6. Вот почему мы остановились на 6! Это математически обоснованный и самый быстрый способ, который гарантирует, что вы ничего не пропустите и не напишете дважды.
Алгоритм-памятка:
1. Начинай с 1 и записывай пары (1 и само число).
2. Последовательно проверяй числа 2, 3, 4...
3. ОСТАНОВИСЬ, когда второе число в паре станет меньше или равно первому. (Как в паре 6-6).
4. Выпиши все числа из всех пар по порядку.
2. Задача: Сколько делителей имеет число 47?
Решение: Проверяем, простое ли оно. Делится только на 1 и 47. Значит, оно простое. Ответ: 2 делителя.
3. Задача: Из чисел 85, 108, 135, 231, 702 выберите те, которые делятся на 9.
Решение: Применяем признак делимости на 9.
8+5=13 (не делится)
1+0+8=9 (делится) ✅
1+3+5=9 (делится) ✅
2+3+1=6 (не делится)
7+0+2=9 (делится) ✅
Ответ: 108, 135, 702.
Может возникнуть вопрос: А что такое “Признак делимости на 9”?
Признак делимости на 9 — это простое правило, которое позволяет быстро определить, делится ли число на 9 БЕЗ выполнения долгого деления в столбик.
Само правило звучит так:
> Число делится на 9 тогда и только тогда, когда СУММА ЕГО ЦИФР делится на 9.
Почему это работает? (Небольшой экскурс для любознательных)
Представьте число не как целое, а как сумму его разрядов.
Возьмем, например, число 108:
- Это 1 сотня + 0 десятков + 8 единиц.
Можно записать: 100 + 0 + 8.
Но 100 – это 99 + 1, а 99 делится на 9!
Получается: (99 + 1) + (0) + (8) = (99) + (1 + 0 + 8).
Так как 99 делится на 9, то всё число делится на 9 только если на 9 делится оставшаяся часть – сумма цифр (1+0+8=9).
Это правило работает для любого числа!
Как этим пользоваться? Пошаговая инструкция:
Шаг 1: Запишите число.
Шаг 2: Сложите все цифры этого числа.
Шаг 3: Посмотрите, делится ли полученная сумма на 9.
- Если ДА – исходное число делится на 9.
- Если НЕТ – исходное число НЕ делится на 9.
Разберём на вашем примере:
Дано: 85, 108, 135, 231, 702
1. Число 85:
- Сумма цифр: 8 + 5 = 13
- 13 на 9 не делится? → Значит, 85 не делится на 9.
2. Число 108:
- Сумма цифр: 1 + 0 + 8 = 9
- 9 делится на 9? → Значит, 108 делится на 9.
3. Число 135:
- Сумма цифр: 1 + 3 + 5 = 9
- 9 делится на 9? → Значит, 135 делится на 9.
4. Число 231:
- Сумма цифр: 2 + 3 + 1 = 6
- 6 на 9 не делится? → Значит, 231 не делится на 9.
5. Число 702:
- Сумма цифр: 7 + 0 + 2 = 9
- 9 делится на 9? → Значит, 702 делится на 9.
Ответ: 108, 135, 702.
Важный лайфхак!
Если при сложении цифр у вас получилось большое число (например, в числе 9999 сумма цифр 9+9+9+9=36), не пугайтесь. Примените правило к этому результату: делится ли 36 на 9? (3+6=9 → делится). Значит, и исходное число делится на 9.
4. Задача (повышенный уровень): Найдите двузначное число, кратное 18, и состоящее из цифр 3 и 5.
Решение задачи:
Дано:
Двузначное число, кратное 18, состоящее из цифр 3 и 5.
Шаг 1: Что значит «кратное 18»?
Число должно делиться на 18 без остатка. Так как 18 = 2 × 9, число должно одновременно делиться на 2 и на 9.
Шаг 2: Применяем признаки делимости:
1. Делимость на 2:
Число должно быть чётным (оканчиваться на 0, 2, 4, 6, 8).
Из цифр 3 и 5 можно составить числа: 35 и 53.
- 35 — оканчивается на 5 (нечётное) ❌
- 53 — оканчивается на 3 (нечётное) ❌
Вывод: Ни одно из этих чисел не делится на 2. Значит, условие задачи некорректно?
Шаг 3: Перепроверяем условие!
Возможно, в числе могут повторяться цифры? Или это опечатка?
Предположим, что число состоит из цифр 3 и 6 (так как 6 — чётное, и это часто встречающаяся в таких задачах пара).
Тогда возможные числа: 36 и 63.
1. Проверяем делимость на 2:
- 36 — чётное ✅
- 63 — нечётное ❌
2. Проверяем делимость на 9:
- 36: 3 + 6 = 9 (делится на 9) ✅
- 63: 6 + 3 = 9 (делится на 9) ✅
3. Проверяем делимость на 18:
- 36 : 18 = 2 (делится без остатка) ✅
- 63 : 18 = 3.5 (не делится) ❌
Ответ: 36.
Важное замечание:
Если в исходной задаче действительно были цифры 3 и 5, то решения не существует, так как ни 35, ни 53 не делятся на 2. Вероятно, в условии опечатка, и имелись в виду цифры 3 и 6.
Отличный и очень важный вопрос! Ситуация на экзамене может быть стрессовой, и такое возможно. Вот алгоритм действий и правильный настрой для ученика.
Краткое напутствие-пожелание
Ребята, главное — без паники! Любая задача на ОГЭ имеет решение. Если вам показалось, что условие некорректное, скорее всего, вы что-то упустили. Но даже если это редчайшая ошибка — ваша задача не идеально решить всё, а набрать максимум баллов. Ваш ум и спокойствие — главные инструменты на экзамене. Вы готовы, вы справитесь!
Пошаговая рекомендация: что делать на экзамене
1. ГЛУБОКО ДЫШИТЕ и НЕ ПАНИКУЙТЕ.
Первая и самая важная реакция. Один неясный номер — это не конец света. Напомните себе, что вы знаете и умеете больше, чем кажется.
2. ПЕРЕЧИТАЙТЕ условие ВНИМАТЕЛЬНО.
- Возьмите линейку и читайте условие по словам, подчеркивая ключевые данные. Часто в стрессе мозг «додумывает» условие или пропускает частицу «НЕ».
- Пример: «...состоящее из цифр 3 и 5» — может быть, было «3 или 5»? Или «цифры 3, 5 и 6»?
3. ПРОВЕРЬТЕ СВОИ РАССУЖДЕНИЯ.
- Вы уверены, что используете правильные признаки делимости?
- Вы учли все ограничения (например, «двузначное», «чётное»)?
- Сделайте предположение. Если задача про цифры 3 и 5, а решения нет, возможно, подразумевалось число 90? (оно кратно 18, но состоит из цифр 9 и 0). Или всё же имели в виду 3 и 6? Выберите наиболее логичную версию и РЕШАЙТЕ ЕЁ.
4. ЕСЛИ УБЕЖДЕНЫ, ЧТО ОШИБКА В ЗАДАНИИ — ДЕЙСТВУЙТЕ ПО ПРАВИЛАМ.
- Не сдавайте пустой лист! Напишите ВСЕ свои размышления.
Например:
- «По условию, число состоит из цифр 3 и 5. Возможные числа: 35 и 53. Ни одно из них не делится на 2, а значит, не может быть кратно 18. Предположив, что в условии имелись в виду цифры 3 и 6, получаем числа 36 и 63. Число 36 делится на 2 и на 9, следовательно, кратно 18. Число 63 не делится на 2. Ответ: 36.»
Такое решение показывает эксперту, что вы блестяще владеете материалом и можете мыслить логически. Вы можете получить баллы за ход решения, даже если исходное условие спорное.
5. НЕ ЗАТЯГИВАЙТЕ.
- Потратьте на эту задачу не более 5-7 минут. Если понимаете, что зашли в тупик, — ОСТАВЬТЕ ЕЁ и переходите к следующим заданиям. Вернётесь в конце, если останется время.
6. ПОСЛЕ ЭКЗАМЕНА — АПЕЛЛЯЦИЯ.
- Если вы абсолютно уверены, что в задании была ошибка, обязательно узнайте, как подается апелляция. На апелляции вы сможете аргументированно доказать свою точку зрения. Но для этого у вас в черновике должны остаться записи, подтверждающие ваш ход мыслей.
Главная рекомендация: Ваша задача — не найти ошибку в КИМах, а показать свои знания. Действуйте спокойно, логично и собрано. У вас всё получится!
4. Итог урока и домашнее задание (5 минут)
Итог: «Сегодня мы вспомнили основы основ. Умение быстро раскладывать числа на множители и применять признаки делимости сэкономит вам массу времени на экзамене».
Домашнее задание (четко диктуем и записываем в дневник):
1. Выучить наизусть признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
2. Решить из сборника под редакцией И.В. Ященко (укажите конкретный год, например, «ОГЭ-2024. 50 вариантов») 5 задач по теме «Делимость чисел. Признаки делимости». Обычно это задания №1, №2, №4 из первой части.
Примерные номера задач из любого сборника Ященко:
№1: «Какое из чисел делится на 7?» (аналогично признакам)
№2: «Выберите верное утверждение: 1) Число 1 простое; 2) Число 27 имеет 3 делителя...»
№4: «Найдите наибольший общий делитель чисел 42 и 63.» (это уже тема след. урока, но пусть попробуют, опираясь на найденные делители).
Ваш ход! Не откладывайте успех на потом. Возьмите тетрадь, ручку и прямо сейчас прорешайте задачи из домашнего задания. Поделитесь своими ответами в комментариях — я проверю и дам обратную связь! Сделайте первый и самый важный шаг к вашему 5+ на ОГЭ прямо сегодня.
P.S. Помните: те, кто начинают готовиться системно в сентябре, в мае получают желанные баллы. Вы уже впереди! 💪
#ОГЭСНуля #ДелимостьЧисел #МатематикаОГЭ2025 #ПервыйУрок #ПодготовкаОсенью #ИвлеваРазбор #СборникЯщенко #РешуОГЭ #На5БезПроблем
---
Удачи на первом занятии! Ваши ученики всё поймут с такой структурой.
Оставить комментарий